龙之谷学者凶猛吗值得练吗的简单介绍
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ， 1707年4月15日～1783年9月18日）， 瑞士数学家、 天然科学家。1707年4月15日出生于瑞士的 巴塞尔牧师家庭。15岁在 巴塞尔大学获 学士学位， 翌年得 硕士学位。1727年， 欧拉应 圣彼得堡科学院的邀请到俄国。1731年接替 丹尼尔·伯努利成为物理传授。他以兴旺的精神投入研究， 在俄国的14年中， 他在 阐发学、 数论和 力学方面做了大量超卓的工做。1741年受 普鲁士腓特烈大帝的邀请到柏林科学院工做， 达25年之久。在柏林期间他的研究内容愈加普遍， 涉及 行星运动、 刚体运动、 热力学、 弹道学、 生齿学， 那些工做和他的数学研究彼此鞭策。1766年他又回到了圣彼得堡。1783年9月18日于俄国圣彼得堡逝世。
欧拉（人物）
若何获得
中文名莱昂哈德·欧拉国 籍瑞士出生日期 1707年（丁亥年）4月15日 职 业数学家， 物理学家信 仰基督教代表做品《无限阐发引论》《微分学原理》《积分学原理》
外文名Leonhard Euler出生地瑞士逝世日期1783年9月18日结业院校巴塞尔大学次要成就创建函数的符号创建阐发力学处理了柯尼斯堡七桥问题给出各类欧拉公式星 座白羊座
目次
1人物简介
2欧拉生平
早年
在圣彼得堡
在柏林
目力恶化
其他
3职业生活生计
4数学奉献
各范畴奉献
其他奉献
5学术成就
他让微积分长大成人
全才数学家
最多产的数学家
6关于数独
7欧拉全集
计算和著做
《欧拉全集》
8时代布景
阐发的时代
情况的因素
9所获评价
人类汗青上最有影响的100人之一
巨匠评价
10纪念活动
前苏联
瑞士
德国
中国
美国
数频-欧拉常数
最出名欧拉常数是两个差别的无理数
The most different Euler constant is irrational number
参考材料：
大事记
光影集锦
图册集锦花絮视频
人物简介
欧拉1707年4月15日生于瑞士巴塞尔， 1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡。他生于牧师家庭。15岁在巴塞尔大学获学士学位， 翌年得硕士学位。1727年， 欧拉应圣彼得堡科学院的邀请到俄国。1731年接替丹尼尔第一·伯努利成为物理传授。他以兴旺的精神投入研究， 在俄国的14年中， 他在阐发学、数论和力学方面做了大量超卓的工做。1741年受普鲁士腓特烈大帝的邀请到柏林科学院工做， 达25年之久。在柏林期间他的研究内容愈加普遍， 涉及行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、生齿学， 那些工做和他的数学研究彼此鞭策。欧拉那个期间在微分方程、曲面微分几何以及其他数学范畴的研究都是创始性的。1766年他又回到了圣彼得堡。 欧拉是18世纪数学界最出色的人物之一， 他不单在数学上做出伟大奉献， 并且把数学用到了几乎整个物理范畴。他又是一个多产做者。他写了大量的力学、阐发学、几何学、变分法的课本， 《无限小阐发引论》、 《微分学原理》 、《积分学原理》都成为数学中的典范著做。除了教科书外， 他的全集有74卷。 18世纪中叶， 欧拉和其他数学家在处理物理问题过程中， 创建了微分方程那门学科。值得提出的是， 偏微分方程的纯数学研究的第一篇论文是欧拉写的《方程的积分法研究》 。欧拉还研究了函数用三角级数暗示的办法息争微分方程的级数法等等。 欧拉引入了空间曲线的参数方程， 给出了空间曲线曲率半径的解析表达式。1766年他出书了《关于曲面上曲线的研究》， 成立了曲面理论。那篇著做是欧拉对微分几何最重要的奉献， 是微分几何开展史上的一个里程碑。欧拉在阐发学上的奉献不乏其人。如他引入了Γ函数和B函数， 证了然椭圆积分的加法定理， 最早引入了二重积分等等。数论做为数学中一个独立分收的根底是由欧拉的一系列功效所奠基的。他还处理了出名的组合问题：柯尼斯堡七桥问题。在数学的许多分收中都常常见到以他的名字定名的重要常数、公式和定理。 小时候他就出格喜好数学， 不满10岁就起头自学《代数学》。那本书连他的几位教师都没读过。可小欧拉却读得津津有味， 碰到不懂的处所， 就用笔做个记号， 过后再向他人请教。1720年， 13岁的欧拉靠本身的勤奋考入了巴塞尔大学,得到其时最有名的数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli， 1667-1748年）的精心指点．。那在其时是个奇观， 曾颤动了数学界。小欧拉是那所大学， 也是整个瑞士大学校园里年龄最小的学生。
欧拉渊博的常识， 无限无尽的创做精神和空前丰硕的著做， 都是令人惊讶不已的！他从19岁起头颁发论文， 曲到76岁， 半个多世纪写下了浩如烟海的册本和论文．到今几乎每一个数学范畴都能够看到欧拉的名字， 从初等几何的欧拉线， 多面体的欧拉定理， 立体解析几何的欧拉变更公式， 四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数， 微分方程的欧拉方程， 级数论的欧拉常数， 变分学的欧拉方程， 复变函数的欧拉公式等等， 数也数不清．他对数学阐发的奉献更独具匠心， 《无限小阐发引论》一书即是他划时代的代表做， 其时数学家们称他为"阐发学的化身"．
欧拉是科学史上最多产的一位出色的数学家， 据统计他那不倦的一生， 共写下了886本册本和论文， 此中阐发、代数、数论占40%， 几何占18%， 物理和力学占28%， 天文学占11%， 弹道学、航海学、建筑学等占3%， 彼得堡科学院为了整理他的著做， 足足繁忙了四十七年．[1]
欧拉曾任彼得堡科学院传授， 是柏林科学院的开创人之一。他是刚体力学和流体力学的奠定者， 弹性系统不变性理论的创始人。他认为量点动力学微分方程能够应用于液体（1750）。他曾用两种办法来描述流体的运动， 即别离按照空间固定点（1755）和按照确定的流体量点（1759）描述流体速度场。前者称为欧拉法， 后者称为拉格朗日法。欧拉奠基了抱负流体的理论根底， 给出了反映量量守恒的持续方程（1752）和反映动量变革规律的流体动力学方程（1755）。欧拉在固体力学方面的著作也良多， 诸如弹性压杆失稳后的外形， 上端悬挂重链的振动问题， 等等。欧拉的专著和论文多达800多种。
小行星欧拉2002就是为了纪念欧拉而定名的。[2]
2
欧拉生平
早年
欧拉出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭， 父亲保罗·欧拉（Paul Euler）是基督教加尔文宗的牧师， 保罗·欧拉早年在巴塞尔大学进修神学， 后娶了一位牧师的女儿玛格丽特·布鲁克（Marguerite Brucker）， 也就是欧拉的母亲。欧拉是他们6个孩子中的长子。在欧拉出生后不久， 他们全家就从巴塞尔搬家至郊外的里恩,在那里欧拉渡过了他童年的大部门光阴。
欧拉最早是从他的父亲那里接触到一些数学， 后来欧拉搬回巴塞尔和他的外祖母住在一路， 并在那里起头了他的正式学业， 在中学期间， 因为欧拉所在的学校其实不传授数学， 他便暗里里从一位大学生那里进修。
欧拉13岁时进入了巴塞尔大学， 主修哲学和法令， 但在每周礼拜六下战书便跟其时欧洲更优秀的数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli）进修数学 。欧拉于1723年获得了他的哲学硕士学位， 学位论文的内容是笛卡尔哲学和牛顿哲学的比力研究。之后， 欧拉遵从了他父亲的意愿进入了神学系， 进修神学， 希腊语和希伯来语（欧拉的父亲希望欧拉成为一名牧师）， 但最末约翰·伯努利说服欧拉的父亲允许欧拉进修数学， 并使他相信欧拉必定能成为一位伟大的数学家。1726年， 欧拉完成了他的博士学位论文De Sono， 内容是研究声音的传布。1727年， 欧拉参与了法国科学院主办的有奖征文竞赛， 昔时的问题是找出船上的桅杆的更优放置办法。成果他得了二等奖， 一等奖为被誉为“舰船建造学之父”的皮埃尔·布格（Pierre Bouguer）所获得， 不外欧拉随后在他一生中一共12次博得该奖项一等奖。
在圣彼得堡
那一期间， 约翰·伯努利的两个儿子——丹尼尔·伯努利和尼古拉·伯努利（Nicolas Bernoulli）——在位于俄国圣彼得堡的俄国皇家科学院工做， 在尼古拉因阑尾炎于1726年7月逝世后（此时距他来到俄国仅一年）， 丹尼尔便接替了他在数学/物理学所的职位， 同时保举欧拉来接替他本身在心理学所空出的职位。欧拉于1726年11月欣然承受了邀请， 但并没有立即动身前去圣彼得堡， 而是先申请巴塞尔大学的物理学传授， 不外没有胜利。
前苏联于1957年发行的邮票， 纪念欧拉诞辰250周年。文字内容为：欧拉， 伟大的数学家和学者， 诞辰250周年。
欧拉于1727年5月17日抵达圣彼得堡， 在丹尼尔等人的恳求下， 科学院将欧拉指派到数学/物理学所工做， 而不是起初的心理学所。欧拉与丹尼尔连结着亲近的合做关系， 而且与丹尼尔住在一路。在1727年至1730年间， 欧拉还担任了俄国海军医官的职务。
俄国皇家科学院由彼得大帝于1724年创建， 在彼得大帝和他的继任者凯瑟琳女皇主政期间， 科学院是一个对外国粹者具有吸引力的处所。科学院有充沛的资金来源和一个规模庞大的综合藏书楼， 而且只招收十分少的学生， 以减轻传授们的教学承担。科学院还十分重视研究， 赐与传授们充实的时间及自在， 让他们探究科学问题 。
凯瑟琳女皇， 同时也是科学院的帮助者， 于欧拉抵达圣彼得堡的当天逝世。其后彼得二世继位， 彼得二世是个薄弱虚弱的君主， 现实权利由俄国贵族掌握。贵族们对科学院的外国科学家心存戒心， 于是他们割断了对欧拉及其同事们的财务帮助， 而且在其它方面找他们的费事。
情况在彼得二世逝世（1730年）后有所好转， 欧拉在科学院敏捷得到提拔， 并于1731年获得物理学传授的职位。两年后， 因为受不了在圣彼得堡遭到的种种审查和仇视， 丹尼尔·伯努利返回了巴塞尔， 欧拉于是接替丹尼尔成为数学所所长 。1735年， 欧拉还在科学院天文所担任职务， 协助体例俄国第一张全境地图。
1734年1月7日， 欧拉迎娶了科学院从属中学的美术教师， 瑞士人乔治·葛塞尔（Georg Gsell）的女儿， 柯黛琳娜·葛塞尔（Katharina Gsell， 1707-1773） ， 两人共育有13个子女， 此中仅有5个活到成年 。
在柏林
考虑到俄国持续的骚动， 欧拉在1741年6月19日分开了圣彼得堡， 到柏林科学院就职， 职位由腓特烈二世供给。他在柏林生活了25年， 并在那儿写了不行380篇文章。在柏林， 他出书了他最有名的两部做品：关于函数方面的文章《无限小阐发引论》， 出书于1748年；另一部是关于微分的《微积分概论》， 出书于1755年。 在1755年， 他成为瑞典皇家科学院的外籍成员。
目力恶化
在欧拉的数学生活生计中， 他的目力不断在恶化。在1735年一次几乎致命的发热后的三年， 他的右眼近乎失明， 但他把那归罪于他为圣彼得堡科学院停止的辛苦的地图学工做。目力在他在德国期间也持续恶化， 以致于弗雷德里克把他誉为“独眼巨人”。欧拉的本来一般的左眼后来又遭受了白内障的困扰。在他于1766年被查出有白内障的几个礼拜后， 招致了他的近乎完全失明。即使如斯， 病痛似乎并未影响到欧拉的学术消费力， 那大要归因于他的默算才能和超群的记忆力。好比， 欧拉能够从头至尾不踌躇地背诵维吉尔的史诗《埃涅阿斯纪》， 并能指出他所背诵的阿谁版本的每一页的第一行和最初一行是什么。在书记员的帮忙下， 欧拉在多个范畴的研究其实变得愈加高产了。在1775年， 他均匀每周就完成一篇数学论文。
其他
欧拉年轻时曾研读神学， 他一生忠诚、深信天主， 其实不能容许任何诽谤天主的言论在他面前颁发。有一个普遍传播的传说说到， 欧拉在叶卡捷琳娜二世的宫廷里， 挑战其时拜访宫廷的无神论者德尼·狄德罗：“先生， ， 所以天主存在， 请答复！”不懂数学的德尼完全不知怎么应对， 只好投降。但是因为狄德罗事实上也是一位有做为的数学家， 那个传说有可能属于虚构。
欧拉是史上颁发论文数第二多的数学家， 全集共计75卷；他的纪录不断到了20世纪才被保罗·埃尔德什突破。后者颁发的论文达1525篇， 著做有32部。欧拉在他的时代， 产量之多， 无人能及。欧拉现实上收配了18世纪至今的数学；关于其时新数学分收微积分， 他推导出了良多成果。良多数学的分枝， 也是由欧拉所创或因而有了极大的停顿。
在1765年至1771年据说是因欧拉双眼间接察看太阳， 双眼先后失明。虽然人生最初7年， 欧拉的双目完全失明， 他仍是以惊人的速度产出了生平一半的著做。
1783年9月18日， 晚餐后， 欧拉一边喝着茶， 一边和小孙女玩耍， 突然之间， 烟斗从他手中掉了下来。他说了一声：“我的烟斗”， 并哈腰去捡， 成果再也没有站起来， 他抱着头说了一句：“我死了”。“欧拉停行了计算和生命”。后面那句经常被数学史家引用的话， 出自法国哲学家兼数学家孔多塞之口：“...il cessa de calculer et de vivre（他停行了计算和生活）”（he ceased to calculate and to live）。[3]
3职业生活生计
欧拉著做的惊人多产并非偶尔的， 他能够在任何不良的情况中工做， 他常常抱着孩子在膝上完成论文， 也掉臂孩子在旁边鼓噪．他那固执的毅力和废寝忘食的治学精神， 使他在双目失明以后， 也没有停行对数学的研究， 在失明后的17年间， 他还口述了几本书和400篇摆布的论文．19世纪伟 大数学家高斯（Gauss， 1777-1855年）曾说："研究欧拉的著做永久是领会数学的更好办法．"
欧拉的父亲保罗·欧拉（Paul Euler）也是一个数学家， 原希望小欧拉学神学， 同时教他一点数学．因为小欧拉的秀士和异常勤恳的精神， 又遭到 约翰·伯努利的赏识和特殊指点， 当他在19岁时写了一篇关于船桅的论文， 获得巴黎科学院的奖的奖金后， 他的父亲就不再反对他攻读数学了．
1725年约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利赴俄国， 并向沙皇喀德林一世保举了欧拉， 如许， 在1727年5月17日欧拉来到了彼得堡．1733年， 年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学传授．1735年， 欧拉处理了一个天文学的难题（计算慧星轨道）， 那个问题经几个出名数学家几个月的勤奋才得到处理， 而欧拉却用本身创造的办法， 三天便完成了．然而过度的工做使他得了眼病， 而且不幸右眼失了然， 那时他才28岁．1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请， 到柏林担任科学院物理数学所所长， 曲到1766年， 后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回彼得堡， 不意没有多久， 左眼目力衰退， 最初完全失明．不幸的工作接踵而来， 1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉室第， 带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中， 固然他被他人从火海中救了出来， 但他的书房和大量研究功效全数化为灰烬了．
繁重的冲击， 仍然没有使欧拉倒下， 他立誓要把丧失夺回来．在他完全失明之前， 还能朦胧地看见工具， 他抓紧那最初的时刻， 在一块大黑板上疾书他发现的公式， 然后口述其内容， 由他的学生出格是大儿子A·欧拉（数学家和物理学家）笔录．欧拉完全失明以后， 仍然以惊人的毅力与暗中屠杀， 凭着记忆和默算停止研究， 曲到逝世， 竟达17年之久．
欧拉的记忆力和默算才能是稀有的， 他可以复述年青时代条记的内容， 默算其实不限于简单的运算， 高档数学一样能够用默算去完成．有一个例子足以申明他的本事， 欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来， 算到第50位数字， 两人相差一个单元， 欧拉为了确定事实谁对， 用默算停止全数运算， 最初把错误找了出来．欧拉在失明的17年中；还处理了使牛顿头痛的月离问题和良多复杂的阐发问题．
欧拉的气概是很高的， 拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家， 从19岁起和欧拉通信， 讨论等周问题的一般解法， 那引起变分法的降生．等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题， 拉格朗日的解法， 赢得欧拉的强烈热闹赞扬， 1759年10月2日欧拉在回信中盛称拉格朗日的成就， 并谦善地压下本身在那方面较不成熟的做品暂不颁发， 使年青的拉格朗日的工做得以颁发和传播， 并博得庞大的声誉．他晚年的时候， 欧洲所有的数学家都把他当做教师， 出名数学家拉普拉斯（Laplace）曾说过："欧拉是我们的导师．" 欧拉充沛的精神连结到最初一刻， 1783年9月18日下战书， 欧拉为了庆贺他计算气球上升定律的胜利， 请伴侣们吃饭， 那时天王星刚发现不久， 欧拉就写出了计算天王星轨道的要领， 还和他的孙子逗笑， 喝完茶后， 突然疾病爆发， 烟斗从手中落下， 口里喃喃地说："我死了"， 欧拉末于"停行了生命和计算"．
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数学奉献
各范畴奉献
在数学范畴内， 18世纪可准确地称为欧拉世纪。欧拉是18世纪数学界的中心人物。他是继牛顿（Newton）之后最重要的数学家之一。在他的数学研究功效中， 首推第一的是阐发学。欧拉把由伯努利家族继承下来的莱布尼茨学派的阐发学内容停止整理， 为19世纪数学的开展打下了根底。他还把微积分法在形式长进一步开展到复数范畴， 并对偏微分方程， 椭圆函数论， 变分法的创建和开展留下前驱的业绩。在《欧拉全集》中， 有17卷属于阐发学范畴。他被同时代的人誉为“阐发的化身”。
1．数论
欧拉的一系列成奠基做为数学中一个独立分收的数论的根底。欧拉的著做有很大一部门同数的可除性理论有关。欧拉在数论中最重要的发现是二次反律。
2．代数
欧拉《代数学入门》一书， 是16世纪中期起头开展的代数学的一个系统总结。
3．无限级数
欧拉的《微分学原理》（Introductio calculi differentialis， 1755）是有限差演算的第一部论著， 他第一个引进差分算子。欧拉在大量地应用幂级数时， 还引进了新的极其重要的傅里叶三角级数类。1777年， 为了把一个给定函数展成在（0， “180”）区间上的余弦级数， 欧拉又推出了傅里叶系数公式。欧拉还把函数展开式引入无限乘积以及求初等分式的和， 那些功效在后来的解析函数一般理论中占有重要的地位。他对级数的和那一概念提出了新的更普遍的定义。他还提出了两种乞降法。那些丰硕的思惟， 对19世纪末， 20世纪初发散级数理论中的两个主题， 即渐近级数理论和可和性的概念产生了深远影响。
4．函数概念
18世纪中叶， 阐发学范畴有许多新的发现， 此中很多是欧拉自已的工做。它们系统地归纳综合在欧拉的《无限阐发引论》、《微分学原理》和《积分学原理》构成的阐发学三部曲中。那三部书是阐发学开展的里程碑四式的著做。
5．初等函数
《无限阐发引论》第一卷共18章， 次要研究初等函数论。此中， 第八章研究圆函数， 第一次论述了三角函数的解析理论， 而且给出了棣莫弗（de Moivre）公式的一个推导。欧拉在《无限阐发引论》中研究了指数函数和对数函数， 他给出出名的表达式——欧拉恒等式（表达式顶用暗示趋势无限大的数；1777年后， 欧拉用暗示虚数单元）， 但仅考虑了正自变量的对数函数。1751年， 欧拉颁发了完整的复数理论。
6．单复变函数
通过对初等函数的研究， 达朗贝尔和欧拉在1747－1751年间先后得到了（用现代数语表达的）复数域关于代数运算和超越运算封锁的结论。他们两人还在阐发函数的一般理论方面获得了最后的停顿。
7．微积分学
欧拉的《微分学原理》和《积分学原理》二书对其时的微积分办法做了最详尽、最有系统的讲解， 他以其浩瀚的发现丰硕可无限小阐发的那两个分收。
8．微分方程
《积分原理》还展现了欧拉在常微分方程和偏方程理论方面的浩瀚发现。他和其他数学家在处理力学、物理问题的过程中创建了微分方程那门学科。
在常微分方程方面， 欧拉在1743年颁发的论文中， 用代换给出了肆意阶常系数线性齐次方程的古典解法， 最早惹人了“通解”和“特解”的名词。1753年， 他又颁发了常系数非齐次线性方程的解法， 其办法是将方程的阶数逐次降低。
欧拉在18世纪30年代就起头了对偏微分程的研究。他在那方面最重要的工做， 是关于二阶线性方程的。
9．变分法
1734年， 他推广了最速降线问题。然后， 动手寻找关于那种问题的更一般办法。1744年， 欧拉的《寻求具有某种极大或极小性量的曲线的办法》一书出书。那是变分学史上的里程碑， 它标记着变分法做为一个新的数学阐发的降生。
10．几何学
坐标几何方面， 欧拉的次要奉献是第一次在响应的变更里应用欧拉角， 彻底地研究了二次曲面的一般方程。
微分几何方面， 欧拉于1736年起首引进了平面曲线的内在坐标概念， 即以曲线弧长那一几何量做为曲线上点的坐标， 从而起头了曲线的内在几何研究。1760年， 欧拉在《关于曲面上曲线的研究》中成立了曲面的理论。那本著做是欧拉对微分几何最重要的奉献， 是微分几何开展史上的里程碑。
欧拉对拓扑学的研究也是具有第一流的程度。1735年， 欧拉用简化（或抱负化）的暗示法处理了出名的歌尼斯堡七桥游戏问题， 得到了具有拓扑意义的河－桥图的判断法例， 即现今收集论中的欧拉定理。
其他奉献
欧拉的一生， 是为数学开展而斗争的一生， 他那出色的聪慧， 固执的毅力， 废寝忘食的斗争精神和高尚的科学道德， 永久是值得我们进修的．欧拉还创设了许大都学符号， 例如π（1736年）， i（1777年）， e（1748年）， sin和cos（1748年）， tg（1753年）， △x（1755年）， Σ（1755年）， f(x)（1734年）等．
欧拉和丹尼尔·伯努利一路， 成立了弹性体的力矩定律：感化在弹性细长杆上的力矩反比于物量的弹性和通过量心轴和垂曲于两者的截面的惯性动量。
他还间接从牛顿运动定律动身， 成立了流体力学里的欧拉方程。那些方程组在形式上等价于粘度为0的纳维-斯托克斯方程。人们对那些方程的次要兴趣在于它们能被用来研究冲击波。
他对微分方程理论做出了重要奉献。他仍是欧拉近似法的开创人， 那些计算法被用于计算力学中。其中最有名的被称为欧拉办法。
在数论里他引入了欧拉函数。
天然数的欧拉函数被定义为小于而且与互量的天然数的个数。例如φ（8）=4， 因为有四个天然数1， 3， 5和7与8互量。
在计算机范畴中普遍利用的RSA公钥密码算法也恰是以欧拉函数为根底的。
在阐发范畴， 是欧拉综合了莱布尼兹的微分与牛顿的流数。
他在1735年因为处理了持久悬而未决的贝塞尔问题而获得名声。
欧拉将虚数的幂定义为欧拉公式， 它成为指数函数的中心。
在初等阐发中， 从素质上来说， 要么是指数函数的变种， 要么是多项式， 两者必居其一。被理查德·费曼称为“最卓越的数学公式'”的则是欧拉公式的一个简单推论（凡是被称为欧拉恒等式）。
在1735年， 他定义了微分方程中有用的欧拉-马歇罗尼常数。他是欧拉-马歇罗尼公式的发现者之一， 那一公式在计算难于计算的积分、乞降与级数的时候极为有效。
在1739年， 欧拉写下了《音乐新理论的测验考试(Tentamennovaetheoriaemusicae)》， 书中试图把数学和音乐连系起来。一位列传做家写道：那是一部"为精通数学的音乐家和精通音乐的数学家而写的"著做。
在经济学方面， 欧拉证明， 若是产物的每个要素正好用于付出它本身的边际产量， 在规模报答稳定的情形下， 总收入和产出将完全耗尽。
在几何学和代数拓扑学方面， 欧拉公式给出了单联通多面体的边、顶点和-(zh-hans:面;zh-hant:面)-之间存在的关系。
在1736年， 欧拉处理了柯尼斯堡七桥问题， 而且颁发了论文《关于位置几何问题的解法 》， 对一笔划问题停止了论述， 是最早运用图论和拓扑学的范例。
数独是欧拉创造的拉丁方块的概念， 在其时其实不流行， 曲到20世纪由普通日本上班族锻治实起， 带起流行。[4]
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学术成就
数学史上公认的4名最伟大的数学家别离是：阿基米德、牛顿、欧拉和高斯。阿基米德有“翘起地球”的唉声叹气， 牛顿因为苹果闻名世界， 高斯少年时就显露出计算先天， 唯独欧拉没有戏剧性的故事让人印象深入。
然而， 几乎每一个数学范畴都能够看到欧拉的名字——初等几何的 欧拉线、多面体的欧拉定理、立体 解析几何的欧拉变更公式、 数论的欧拉函数、 变分法的欧拉方程、 复变函数的欧拉公式……欧拉仍是数学史上最多产的数学家， 他一生写下886种册本论文， 均匀每年写出800多页， 彼得堡科学院为了整理他的著做， 足足繁忙了47年。他的著做 《无限小阐发引论》、 《微分学》、 《积分学》是18世纪 欧洲尺度的 微积分教科书。欧拉还缔造了一批数学符号， 如f(x)、Σ、i、e等等， 使得数学更容易表述、推广。而且， 欧拉把数学应用到数学以外的良多范畴。
法国大数学家拉普拉斯曾说过一句话——读读欧拉， 他是所有人的教师。中国科学院数学与系统科学研究院研究员李文林暗示：“欧拉其实是各人很熟悉的名字， 在数学和物理的良多分收中四处都是以欧拉定名的常数、公式、方程和定理， 他的摸索使得科学更接近我们如今的形态。”
他让微积分长大成人
恩格斯曾说， 微积分的创造是人类精神的更高成功。1687年， 牛顿在《天然哲学数学原理》一书中初次公开颁发他的微积分学说， 几乎同时， 莱布尼茨也颁发了微积分论文， 但牛顿、莱布尼茨开创的微积分根底不稳， 应用范畴也有限。18世纪一批数学家拓展了微积分， 并拓广其应用产生一系列新的分收， 那些分收与微积分本身一路构成了被称为“阐发”的广阔范畴。李文林说：“欧拉就生活在那个阐发的时代。若是说在此之前数学是代数、几何二雄并峙， 欧拉和18世纪其他一批数学家的工做则使得数学构成了代数、几何、阐发鼎足之势的场面。若是没有他们的工做， 微积分不成能春色满园， 也许会打不开场面而荒芜凋谢。欧拉在此中的奉献是根底性的， 被尊为‘阐发的化身’。”
中国科学院数学与系统科学研究院研究员胡做玄说：“牛顿构成了一个打破， 但是打破纷歧定能构成学科， 还有良多遗留问题。”好比， 牛顿对无限小的界定不严酷， 有时等于零有时又参与运算， 被称为“磨灭量的鬼魂”， 其时以至连教会神父都抓住那点攻击牛顿。别的， 因为其时函数有局限， 牛顿和莱布尼茨只涉及到少量函数及其微积分的求法。而欧拉极大地推进了微积分， 而且开展了良多技巧。
“在阐发之前， 数学次要是处理常量、匀速运动问题。18世纪工业革命时， 以蒸汽机纺织机等机械为主体手艺得到普遍运用， 但若是没有微积分、没有阐发， 就不成能对机械运动与变革停止切确计算。”李文林暗示， 到为行， 微积分和微分方程仍然是描写运动的最有效东西， 教科书中陈说的办法， 很多属欧拉的奉献。更重要的是， 牛顿、莱布尼茨微积分的对象曲直线， 而欧拉明白地指出， 数学阐发的中心应该是函数， 第一次强调了函数的角色， 并对函数的概念做了深化。
变分法来源于微积分， 后出处欧拉和拉格朗日从差别的角度把它开展成一门独立学科， 用于求解极值问题。而变分学起源颇富戏剧性——1696年， 欧拉的教师、巴塞尔大学传授约翰·伯努利提出如许一个问题， 并向其他数学家挑战：设想一个小球从空间一点沿某条曲线滚落到(不在统一垂曲线上的)别的一点， 问什么外形的曲线使球下降用时最短。那就是出名的“最速降线问题”， 半年之后仍没人解出， 于是伯努利更明白地暗示“即便是那些对本身的办法自视甚高的数学家也处理不了那个问题”。有人说他在暗射牛顿， 因为伯努利是莱布尼茨的跟随者， 而莱布尼茨和牛顿正因为微积分优先权的问题在“兵戈”， 并招致欧洲大陆和英国数学家的团结。
其时牛顿任伦敦造币局局长。有一天他收到一个法国伴侣转寄的“挑战书”， 于是吃过晚饭后挑灯夜战， 天亮前解了出来， 匿名颁发在剑桥大学《哲学会刊》。虽是匿名， 但约翰·伯努利看到之后惊呼：“从那尖利的爪我认出了那头雄狮。”后来伯努利兄弟和莱布尼茨也都解出了那个问题， 颁发在统一期刊物上。
在那个问题中， 变量自己就是函数， 因而比微积分的极大极小值问题更为复杂。那个问题和其他一些类似问题的处理， 成为变分法的起源。欧拉找到领会决那类问题的一般办法， 教科书中变分法的根本方程就叫欧拉方程。
欧拉13岁上大学时， 约翰·伯努利已经是欧洲很有名的数学家， 伯努利后来对欧拉说， “我介绍高档阐发的时候， 它仍是个孩子， 而你正在将它带大成人。”
全才数学家
李文林说：“除了阐发， 良多数学范畴都绕不开欧拉的名字。如数论， 高斯说数学是科学的皇后， 而数论是数学的皇后， 其难度和地位可想而知。”代数数论的构成和费马大定理有很深的关系。费马17世纪提出的一个料想——方程， 当n≥3时没有整数解。费马料想也称费马大定理， 费马在提出那一料想的同时， 在纸边写了一句话声称：“我已找到了一个奇奥的证明， 但书边空白太窄， 写不下。”于是费马的证明已成千古之谜。尔后颠末300年， 曲到1993年费马大定理才被英国数学家最末处理。整个18世纪， 数学家们都想处理那个料想， 但只要欧拉做出了独一的功效， 证了然n=3的情况， 成为费马大定理研究的第一个打破。
欧拉是解析数论的奠定人， 他提出欧拉恒等式， 成立了数论和阐发之间的联络， 使得能够用微积分研究数论。后来， 高斯的学生黎曼将欧拉恒等式推广到复数， 提出了黎曼料想， 至今没有处理， 成为向21世纪数学家挑战的最严重难题之一。
“在几何方面， 欧拉处理了哥尼斯堡七桥问题， 那也成为图论、拓扑学的前导发轫。”李文林说。哥尼斯堡曾是德国城市， 后属苏联。普雷格尔河穿城而过， 并绕流河中一座小岛而分红两收， 河上建了7座桥。传说本地居民想设想一次漫步， 从某处动身， 颠末每座桥回到原地， 中间不反复。李文林说：“那就是今天的‘一笔划’问题， 但在其时没人能处理。欧拉将那个问题酿成一个数学模子， 用点和线画出收集状图， 证明那种走法不存在， 处理了哥尼斯堡七桥问题。对此类问题的讨论研究， 事实上引导了图论和拓扑学的开展。”
拓扑学中的欧拉示性数也溯源于欧拉1752年提出的关于凸多面体的一条定理：
在一凸多面体中， 顶点数-棱边数+面数=2。
陈省身曾指出欧拉示性数是良多问题息争决法子的来源， 对几何学的影响是底子性的。李文林说：“因为数学好， 欧拉得以处理良多其他范畴的问题。物理、力学、天文学、航海、大地丈量等比及处都有欧拉的奉献， 他是典型的全才数学家。牛顿、莱布尼茨创造的微积分能够说是‘原生态’， 而欧拉18世纪写的文章我们如今仍然能读， 能够说欧拉等人使得数学出格是阐发向现代形式开展。”
最多产的数学家
欧拉是汗青上最多产的数学家。瑞士天然科学基金会组织编写《欧拉全集》， 方案出84卷， 每卷都是4开本(一张报纸大小)。若是按每本300页计算， 欧拉从18岁起头每天得写1张半纸。然而那些只是遗存的做品， 欧拉的手稿在1771年彼得堡大火中还丧失了一部门。欧拉曾说他的遗稿大要够彼得堡科学院用20年。但现实上在他逝世后的第80年， 彼得堡科学院院报还在颁发他的论著。
“天才在于勤恳， 欧拉就是那条实理的化身。”李文林暗示， “良多科学家都很勤恳， 而欧拉最为典型。他失明后的十多年都是在完全看不见的情况下做研究。欧拉默算才能很强， 能够通过口述让他人记录。有一次欧拉的两个学生算无限级数乞降， 算到第17项时两人在小数点后第50位数字上发作争论， 欧拉那时停止默算， 敏捷给出了准确谜底。”
“高斯的神童故事固然有趣， 但并非每小我都是神童。即便是身为神童的高斯， 其勤恳也是出名的。能够说凡有大成就的数学家必有大勤恳。”李文林举例说， 被誉为“现代阐发之父”的德国数学家魏尔斯特拉斯也是异常勤恳。大学结业后他在一所偏远的中学任教14年， 教数学、德语、书法、体育， 每天晚上以惊人的毅力对峙研究， 其时工资很低， 连投稿的邮费都没有。后出处于偶尔的时机他的研究论文被德国数学家克莱尔兴办的数学杂志颁发出来(克莱尔杂志以帮忙没出名的年轻学子颁发立异功效而著称)， 震惊了欧洲科学界。
胡做玄认为， 欧拉的胜利申明了一小我的潜能。“高斯曾说， 要像欧拉那样做， 我的眼睛也要瞎了。一小我要想干事是没有问题的， 只是如今社会比力复杂， 我们应该为科学而科学， 为艺术而艺术。”
除了做学问， 欧拉还很有办理先天， 他曾担任德国柏林科学院院长助理职务， 并将工做做得行之有效。李文林说：“有人认为科学家尤其数学家都是些怪人， 其实只不外数学家会有差别的性格、阅历和命运罢了。牛顿、莱布尼茨都末身未婚， 欧拉却差别。”欧拉喜好音乐、生活丰硕多彩， 结过两次婚， 生了13个孩子， 存活5个， 据说工做时往往儿孙绕膝。他逝世的那全国午， 还给孙女上数学课， 跟伴侣讨论天王星轨道的计算。突然说了一句“我要死了”， 说完就倒下， 停行了生命和计算。
回忆欧拉的一生， 李文林认为：“固然他20岁分开瑞士， 不断没有归去过， 但他却是一个爱国者， 至死没有改动国籍。所以如今我们还能说他是瑞士数学家。”
“牛顿、莱布尼茨、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯都是全面的数学家。后来跟着科学的开展， 全才越来越少， 有人说庞加莱也许是最初一个。”但是数学其实不会因而枯萎， 李文林说：“18世纪末曾有一种灰心主义在数学家中蔓延， 连拉格朗日如许的大数学家都认为数学到头了， 但事实相反， 19世纪初非欧几何的发现、群论的创建以及微积分严酷化的打破， 使数学获得了意想不到的兴旺开展。现代数学， 出格是跟计算机连系起来之后， 必定还会有新的形态。”[5]
6
关于数独
从2008年以来， 一种名为“数独”的填数游戏风行全球。那种游戏规则极其简单， 弄法却变化无穷， 令全世界的男女老小为之痴狂。2004年， 英国《泰晤士报》开风气之先， 在报上公布“数独”标题问题娱乐群众。从那时起， 短短几年光景， 现在全世界大约有60个国度的350多家报纸几乎天天登载“数独”游戏标题问题。近两年来， 中国各地的日报、晚报后起曲逃， 划出专门的版面， 天天报导有关“数独”竞赛的动静， 刊载“数独”标题问题。列国各大城市纷繁举办“数独”竞赛。在英国， “数独 ”竞赛上了电视台的黄金档节目。2006年在意大利举行了第一届世界“数独”锦标赛， 获奖者被认为“智商超群”， 在全世界备受注目。
很多“数独”喜好者都晓得， 那种游戏的普及多亏了一位名叫戈尔德的新西兰人。此人曾在香港担任法官15年， 1 996年退休以后的一次游览路过日本， 在机场偶尔发现介绍“数独”游戏的小册子。戈尔德立即沉迷， 从此专注于“数独” 游戏的开发推广， 他也因而而发了大财。但鲜为人知的是， “数独”游戏自己虽非数学问题， 但是其来源却是一种被称之为“ 拉丁方阵”的古老数学问题， 更先对它展开研究的是18世纪传奇而又高产的大数学家莱昂纳德·欧拉。
关于“拉丁方阵”的研究， 在欧拉的学术范畴内其实不占据次要位置。那个问题源自于昔时普鲁士国王腓特烈为他的仪仗队布阵。国王有一收由36名军官构成的仪仗队， 军官别离来自6收队伍， 每收队伍中都有上校、中校、少校、上尉、中尉、少尉各一名。国王要求那36名军官排成6行6列的方阵， 每一行， 每一列的6名军官必需来自差别的队伍， 而且军衔各不不异。问题看似简单， 腓特烈绞尽脑汁却怎么也摆列不出来， 于是向出名的数学家欧拉请教。欧拉研究之后告诉国王， 没必要白费心血， 因为那个问题底子无解。欧拉之后， 良多数学家起头研究“拉丁方阵”， 并留下良多那方面的定理。[6]
7
欧拉全集
计算和著做
“欧拉停止计算看起来毫不费力儿， 就像人停止呼吸， 像鹰在风中盘旋一样。”(阿拉戈说)， 那句话对欧拉那无与伦比的数学才气来说其实不夸大， 他是汗青上最多产的数学家。与他同时代的人们称他为“阐发的化身”。欧拉撰写长篇学术论文就像一个文思敏捷的做家给亲密的伴侣写一封信那样容易。以至在他生命最初17年间的完全失明也未能阻遏他的无比多产， 若是说目力的丧失有什么影响的话， 那却是进步了他在心里世界停止思维的想像力。
欧拉到底出了几著做， 曲至1936年人们也没有切当的领会。但据估量， 要出书已经搜集到的欧拉著做， 将需用大4开本60至80卷。彼得堡学院为了整理他的著做整整花了47年。1909年瑞士天然科学结合会曾动手搜集、出书欧拉散轶的学术论文。那项工做是在全世界许多小我和数学团体的帮助之下停止的。那也恰好显示出， 欧拉属于整个文明世界， 而不单单屈于瑞士。为那项工做认真体例的预算(1909年的钱币约合80000美圆)却又因为在圣彼得堡(列宁格勒)不测地发现大量欧拉手稿而被完全突破了。
《欧拉全集》
据统计， 欧拉一生均匀每年颁发八百页的学术论文， 内容涵盖多个学术范围。1911年， 数学界系统地起头出书欧拉的著做， 并命名为《欧拉全集》(Opera Omnia)， 全集方案出84卷， 迄今已上架者已有80卷， 剩余还剩下4卷正在筹备中。均匀每卷厚达五百多页， 重约四磅。估计《欧拉全集》全数出齐时约重三百磅。[7]
8
时代布景
阐发的时代
欧拉的数学生活生计起头于牛顿(Newton)逝世的那一年。关于欧拉如许一个天秀士物， 不成能选择到一个更有利的时代了。解析几何(1637年问世)已经应用了90年， 微积分大约50年， 牛顿(Newton)万有引力定律那把物理天文学的钥匙， 摆到数学界人们面前已40年。在那每一个范畴之中， 都已处理了大量孤立的问题， 同时在遍地做了停止同一的明显测验考试。但是还没有像后来做的那样， 对整个数学， 地道数学和应用数学， 停止任何有系统的研究。出格是笛卡儿(Descrates)、牛顿(Newton)和莱布尼茨(Leibniz)强有力的阐发办法还没有像后来那样被充实运用， 尤其在力学和几何学中更是如斯。
那时代数学和三角学已在一个较低的程度上系统化并扩展了。出格是后者已经根本完美。欧拉也证了然他确是个巨匠。事实上， 欧拉多方面才调的最显著特点之一， 就是在数学的两大分收－－持续的和离散的数学中都具有同等的才能。
做为一个算法学家， 欧拉从没有被任何人超越过。也许除了雅可比之外， 也没有任何人接近过他的程度。算法学家是为处理各类专门问题设想算法的数学家。举个很简单的例子， 我们能够假定(或证明)任何正实数都有实数平方根。但如何才气算出那个根呢？已知的办法有良多， 算法学家则要设想出实在可行的详细步调来。再好比， 在丢番图阐发中， 还有积分学里， 当一个或多个变量被其他变量的函数停止巧妙的(常常是简单的)变更之前， 问题往往不成能处理。算法学家就是天然地发现那种窍门的数学家。他们没有任何统一的法式可循， 算法学家就像随口会做打油诗的人－－是生成的， 而不是培养的。
当一个实正伟大的算法学家像印度的罗摩奴阇一样不知从什么处所不测降临的时候， 就是有经历的阐发学者也会欢呼他是来自天堂的恩赐：他那几乎奇异的对外表无关公式的洞察力， 会提醒出隐藏着的由一个范畴导向另一个范畴的线索。从而使阐发学者得到为他们供给的弄清那些线索的新标题问题。算法学家是"公式主义者"， 他们为了公式自己的缘故而喜好美妙的形式。
情况的因素
在谈到欧拉安静而有趣的生活之前， 我们必需介绍一下他阿谁时代的两个情况因素， 那些因素促进了他的惊人的活泼， 并对他的活动有指点感化。
在18世纪的欧洲， 大学不是学术研究的次要中心。假设没有古典派的传统及其对科学研究的能够想像的敌意， 大学原来是能够成为次要中心的。数学关于古代人足够严密， 遭到重视；而物理学比力新， 遭到人们的思疑。此外， 在其时的大学里， 人们希望数学家把他的大部门力量放在根底教学上。至于学术研究， 若是搞的话， 那将是毫无好处的豪侈， 就像今天在一般的美国高档学校里那样。那时候英国大学的研究员们可以把他们选择的课题搞得相当好。然而， 他们很少愿意选择什么课题， 归正搞成了什么或没搞成什么都不会对他们的面包和黄油产生影响。在如斯的败坏， 或者说公开的敌意之下， 底子没有什么好理由来解释为什么那些大学原来应该在科学开展中起带头感化， 而事实上却没有起到。
那个带头的责任由得到大方或有远见的统治者所帮助的各个皇家科学院承担了。普鲁士腓特烈大帝和俄国叶卡捷琳娜女皇大方地给了数学以无法报偿的帮助。他们使得数学的开展有可能在整整一个世纪之中处于科学史上一个最活泼的期间。对欧拉来说， 是柏林和圣彼得堡供给了数学创做的力量。而那两个缔造力的中心都应当把它们对欧拉的鼓励归功于莱布尼茨(Leibniz)不竭朝上进步的大志。是莱布尼茨(Leibniz)草拟过规划的那两个科学院给欧拉供给了成为汗青上最多产的数学家的时机。因而， 在某种意义上说， 欧拉是莱布尼茨(Leibniz)的苗裔。
柏林科学院因为缺乏思维而日渐衰败已有40年， 欧拉在腓特烈大帝的鼓舞下给了它有力的冲击， 使它再次有了生气。彼得大帝在世时没来得及根据莱布尼茨(Leibniz)的规划成立起来的圣彼得堡科学院， 则由他的继位者成立起来了。
那两个科学院不像今天一些科学院那样以判定精心撰写的优良著做， 授予院士资格为次要职责。它们是研究机构， 雇佣院士停止科学研究。薪水和津贴金很优厚， 使人足以包管自己家庭的温馨生活。欧拉的家属一度很多于18小我， 他仍是足以维持他们都过着充盈的生活。使18世纪院士生活具有吸引力的最初一点是， 他的孩子们只要有任何一点才气， 都必定会得到很好的施展时机。
接下来我们就会看到对欧拉的丰盛数学功效具有决定性影响的第二个因素。供给财务撑持的统治者很天然地会希望他们的金钱除开笼统的文化之外再多换到些工具。但必需强调的是， 一旦统治者的投资得到了恰当的报偿， 他们就不再对峙要受雇佣的人把剩余时间也花到"消费性"工做上了。欧拉、拉格朗日和其他院士们都能够自在地做他们愿意做的工做。没有任何明显的压力来迫使谁搞出点什么能被政府间接操纵的现实功效。18世纪统治者们比今天许多研究院院长更明智的是让科学按本身的规律开展的， 只不外偶然提到他们面前需要什么。他们似乎本能地意识到了， 只要不时做个得当的表示， 所谓的"地道"研究就会把他们等待的紧迫现实问题做为副产物搞出来。
那个笼统的说法有一个重要的破例， 它既不证明， 也不否认那个规律。适值在欧拉的时代， 数学研究中悬而未决的问题正好与海洋霸权那个其时也许是第一等的现实问题联络在一路。航海手艺胜过所有其他敌手的国度一定会控造海洋。而航海的首要问题是在离岸数百海浬的大海中切确地确定舰船的位置， 以使之比对手更快地航抵海战的地点(不幸， 只是为了那个)。正如寡所周知的， 英国控造了海洋。它能做到那一点， 在很大水平上是因为它的航海家在18世纪可以把天体力学中的纯数学研究功效加以现实应用。如许一项现实应用正与欧拉间接有关。现代航海的奠定人当是牛顿(Newton)， 虽然他本人其实不曾为那个问题费过脑筋， 也从未曾(就人们迄今所知)踏上过一艘舰船的船面。确定海上船的位置要靠不雅测天体(在出格的飞行中有时那要包罗木星的卫星)。牛顿(Newton)万有引力定律表白需要时以充实的耐心能够预先算出百年之内的行星位置和月相盈亏之后， 希望控造海洋的那些人便摆设航海天文历的计算人员下苦功体例行星将来位置的表格。
在那一项很适用的事业中， 月亮引出了出格棘手的问题， 即牛顿定律相互吸引的三个星体的问题。当我们进入20世纪的时候， 那个问题还要重现许屡次。欧拉是第一个为那个月球问题提出一种能够计算的解法(月球理论)的人。那三个相关星体是月亮、地球和太阳。固然关于那个问题在那里谈不了什么， 要推到后几章去， 但我们能够说， 那个问题是整个数学范围内最难的问题之一。欧拉未曾详细解答那个问题， 但他的近似计算办法(今天被更好的办法取代)具有充实的适用价值， 足以使英国的计算人员为英国海军部算出月球表了。为此， 计算者获得5000英镑(其时那是相当大的一笔款子)， 欧拉因其办法而得到300英镑的奖金。
9
所获评价
人类汗青上最有影响的100人之一
欧拉是18世纪更优秀的数学家， 也是汗青上最伟大的数学家之一。十八世纪瑞士数学家和物理学家伦哈特·欧拉始末是世界最出色的科学家之一。他的全数缔造在整个物理学和许多工程范畴里都有着普遍的应用。 欧拉的数学和科学功效几乎多得令人难以相信。他写了三十二部足本著做， 此中有几部不行一卷， 还写下了许许多多富有缔造性的数学和科学论文。总计起来， 他的科学论著有七十多卷。欧拉的天才使纯数学和应用数学的每一个范畴都得到了充分， 他的数学物理功效有着无限宽广的应用范畴。
早在上一个世纪， 艾萨克·牛顿就提出了力学的根本定律。欧拉出格擅长论证若何把那些定律运用到一些常见的物理现象中。例如， 他把牛顿定律运用到流体运动， 成立了流体力学方程。同样他通过认实阐发刚体的可能运动并应用牛顿定律成立了一个能够完全确定刚体运动的方程组。当然在现实中没有物体是完全刚体。欧拉对弹性力学也做出了奉献， 弹性力学是研究在外力的感化下固体如何发作形变的学说。
欧拉的天才还在于他用数学来阐发天文学问题， 出格是三体问题， 即太阳、月亮和地球在彼此引力感化下如何运动的问题。那个问题──二十一世纪仍要面对的一个问题──尚未得到完全处理。趁便提一下， 欧拉是十八世纪并世无双的出色科学家。他撑持光波学说， 成果证明他是准确的。
欧拉丰硕的思维常常为别人做出成名的发现开辟前进的道路。例如， 法国数学家和物理学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日创建一方程组， 叫做“拉格朗日方程”。此方程在理论上十分重要， 并且能够用来处理许多力学问题。但是因为根本方程是由欧拉起首提出的， 因而凡是称为欧拉—拉格朗日方程。一般认为另一名法国数学家让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶缔造了一种重要的数学办法， 叫做傅里叶阐发法， 其根本方程也是由伦哈特·欧拉最后创建的， 因而叫做欧拉—傅里叶方程。那套方程在物理学的许多差别的范畴都有着普遍的应用， 此中包罗声学和电磁学。
在数学方面他对微积分的两个范畴──微分方程和无限级数──出格感兴趣。他在那两方面做出了十分重要的奉献， 但是因为专业性太强未便在此加以论述。他对变分学和复数学的奉献为后来所获得的一切成就奠基了根底。那两个学科除了对纯数学有重要的意义外， 还在科学工做中有着普遍的应用。欧拉公式表白了三角函数和虚数之间的关系， 能够用来求负数的对数， 是所有数学范畴中应用最普遍的公式之一。欧拉还编写了一本解析几何的教科书， 对微分几何和通俗几何做出了有意义的奉献。
欧拉不只在做可应用于科学的数学创造上得心应手， 并且在纯数学范畴也具备几乎同样出色的才气。但是他对数论做出的许多奉献十分深邃难懂， 不宜在此论述。欧拉也是数学的一个分收拓扑学范畴的前驱， 拓扑学在二十世纪已经变得十分重要。
最初要提到的一点也很重要， 欧拉对利用的数学符号造做出了重要的奉献。例如， 常用的希腊字母π代表圆周率就是他提出来的。他还引出许多其它简便的符号， 数学中经常利用那些符号。
即便没有欧拉其人， 他的一切发现最末也会有人做出。但是我认为做为权衡那种情况的标准应该提出如许的问题：如果底子就没有人能做出他的发现， 科学和现代世界会有什么差别呢？就伦哈特·欧拉的情况而言， 谜底看来很明白：假设没有欧拉的公式、方程和办法， 现代科学手艺的停顿就会滞后不前， 现实上看来是不成想象的。阅读一下数学和物理教科书的索引就会找到如下查照：欧拉角（刚体运动）、欧拉常数（无限级数）、欧拉方程（流体动力学）、欧拉公式（复合变量）、欧拉数（无限级数）、欧拉多角曲线（微分方程）、欧拉齐性函数定理摘微分方程）、欧拉变更（无限级数）、伯努利—欧拉定律（弹性力学）、欧拉—傅里叶公式（三角函数）、欧拉—拉格朗日方程（变分学， 力学）以及欧拉一马克劳林公式（数字法）， 那里举的仅仅是最重要的例子。
欧拉的著作浩瀚， 不只包罗科学创见， 并且富有科学思惟， 他给后人留下了极其丰硕的科学遗产和为科学献身的精神。汗青学家把欧拉同阿基米德、牛顿、高斯并列为数学史上的“四杰”。现在， 在数学的许多分收中经常能够看到以他的名字定名的重要常数、公式和定理。
从所有那一切来看， 有些人可能要问为什么在美国粹者迈克尔.哈特在其所着的《汗青上最有影响的100人》中没有把欧拉的名次排得更高些， 其次要原因在于固然欧拉在论证若何应用牛顿定律方面获得了出色的成就， 但是他本身从未发现任何首创的科学定律， 那就是为什么要把威廉·康拉德， 伦琴和格雷戈尔·孟德尔如许的人物排在他前面的原因。他们每小我次要是发现了新的科学现象或定律。虽然如斯， 欧拉对科学、工程学和数学的奉献仍是庞大的。
巨匠评价
欧拉计算起来轻松自若， 就像人们呼吸， 鹰在空中翱翔。
------ D.F.J.Arago （阿拉戈）
进修欧拉的著做， 乃是认识数学更好的东西。
------ Johann Carl Friedrich Gauss （卡尔·弗里德里希·高斯）
今天的学生从欧拉的无限阐发引论中所能获得的好处, 是现代任何一本教科书都不克不及相比的。 ------ A.Weil（外尔）
读欧拉的著做吧， 在任何意义上， 他都是我们的巨匠。
------Pierre-Simon Laplace（皮埃尔-西蒙·拉普拉斯）
我介绍高档阐发的时候， 它仍是个孩子， 而你正在将它带大成人。
------Johann Bernoulli（约翰·伯努利）
10
纪念活动
前苏联
俄罗斯的近代数学能够认为从欧拉起头的， 欧拉在俄国生活了 30 多年， 他积极将先辈的科学常识传入持久闭塞落后的俄罗斯， 创建了俄罗斯第一个数学学派——欧拉学派， 亲手将一多量俄罗斯青年引进了灿烂的数学殿堂。那也就不难理解， 在许多前苏联和俄罗斯的册本里， 都亲热地称欧拉是“伟大的俄罗斯数学家”。为了纪念欧拉诞辰250周年， 前苏联于1957年发行了印有欧拉头像的邮票。文字内容为：欧拉， 伟大的数学家和学者， 诞辰250周年。[8]
瑞士
在一个小国度里降生一位科学大师， 那在世界史上其实不多见。瑞士数学家欧拉即是此中最超卓的一位， 固然他成年以后不断生活在两座遥远的异国城市：彼得堡和柏林， 他的肖像画却呈现在瑞士法郎上， 与英镑上的牛顿一路成为至今仍畅通欧洲的纸币上仅有的两位科学家。1707年4月15日， 欧拉出生在瑞士西北部临近法国和德国的巴塞尔， 那座通用法语的城市至今生齿仍不敷20万， 却拥有瑞士最早的学府———巴塞尔大学（1460）， 莱茵河蜿蜒着穿过她的中心。德国哲学家尼采年轻时曾在巴塞尔大学担任过十年的古典文献学传授， 在那里完成了他的代表做《悲剧的降生》， 并与在近郊安度晚年的音乐家瓦格纳成为莫逆之交。[9]
瑞士是欧拉的出生地， 也是欧拉进修和生活过的处所， 为了纪念欧拉的数学奉献， 以及对世界科学的影响， 瑞士于1957年发行一套邮票， 以此纪念欧拉的250周年诞辰， 又于2007年发行新的纪念邮票， 纪念欧拉诞辰300周年。[10]
德国
1740年， 安娜女皇退位并于昔时逝世， 欧拉遂承受了普鲁士国王腓特烈大帝的邀请， 到柏林科学院担任数学部主任。欧拉与普鲁士国王相处其实不愉快， 因为国王喜好溜须拍马的大臣。腓特烈大帝之所以撑持数学只是感应那是一种责任， 但他从心里里厌恶那门学问， 因为他本身的数学很糟糕， 那方面他无法与法兰西皇帝拿破仑比拟， 后者自称是个几何学家， 并与同时代所有的巴黎数学家都交上了伴侣。即便达朗贝尔非常坦率地告诉普鲁士国王， 把任何其他数学家置于欧拉之上都是一种错误的行为。可惜的是， 那不只没有让自傲的国王改动对欧拉的观点， 反而变本加厉使得欧拉更难以忍耐。为了本身子女的前途， 欧拉只好打点行拆， 分开了生活了25年之久的柏林， 再次回到了冰冷的彼得堡， 他的老婆和儿孙们也一同返回。
在欧拉回到彼得堡之后， 女皇以皇室的规格接待他， 拨给他一栋可供全家18人栖身的大房子和成套的家具， 并派去本身的一个厨子。恼羞成怒的普鲁士国王只得写信给法国数学家拉格朗日， “欧洲最伟大的国王希望欧洲最伟大的数学家在他的宫里。”显而易见， 他对欧拉的离任耿耿于怀。
为了纪念曾经生活在德国的欧拉， 德国曾于1950年， 1957年， 1983年发行了纪念邮票。1950年， 在纪念柏林科学院成立250周年的一套邮票中就有画有欧拉头像的邮票。1957年的"Famous Scientists"系列票中也有欧拉的头像。1983年发行的纪念邮票是为了纪念欧拉的200周年忌辰。
中国
为庆贺欧拉诞辰300周年， 瑞士政府、中国科学院及中国教育部于2007年4月23日下战书在北京的中国科学院文献谍报中心配合举办纪念活动， 回忆欧拉的生平、工做及对现代生活的影响。瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber在开幕致词中说：“今天， 我们在那里纪念近代汗青上最伟大的学者之一。没有欧拉的浩瀚科学发现， 今天的我们将过着完全纷歧样的生活。”
中国科学院副秘书长郭华东、教育部国际合做司司长助理徐永吉、中国科学院数学与系统科学研究院院长郭雷也别离颁发了致词。
值得一提的是， 吴文俊院士也出席了纪念活动， 并介绍了欧拉和中国古代数学家之间不约而合的研究标的目的。[11]
美国
2013年4月15日是欧拉诞辰的306周年， 谷歌改换了首页涂鸦向那位数学天才致敬。在那天的谷歌涂鸦中， 融入了许多莱昂哈德?欧拉的数学成就。[12]
数频- 欧拉常数
欧拉常数（Euler-Mascheroni constant)
欧拉常数r=1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + .....,能够独立,自己不错.但是和调和级数无关.
数频-欧拉常数R=1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1/8+1/27+...+1/n^3) + ......
后面那一串和都是收敛的， 在数频科学从头记为
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + R, R为数频-欧拉常数=0.273.......<1/3.
R=1/2*(1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1/8+1/27+...+1/n^3) + ......
以下为了更正,用R代替r才是原来的关系式:
欧拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个次要应用于数论的数学常数。它的定义是欧拉的一个误算,一个与调和级数与天然对数的差值的极限无关的常数,必需更正。以下所有r都有R往来来往代.
最出名欧拉常数是两个差别的无理数
The most different Euler constant is irrational number
Wu Hefa
(Shandong province Shanxian Country Zhong xing Zhen Wu Ji Cun Heze China 274329 )
Abstract: Two different Euler constant is irrational number:R=0.5772…,r=0.273…
Key words : Euler constant ; the reciprocal of the law of natural numbers ; irrational number
古老的调和级数1+1/2+1/3+…+1/n+…曾经是世界上未能处理的顶尖难题.欧拉的天才使他更先得到那级数的形式公式,得到了后人以欧拉名字定名的欧拉常数r,并计算了r=0.57721…,很遗憾!那是一个不成更改的误算!但也很幸运！它招致今天两个差别欧拉常数的振奋人心的发现和科学的证明.
在一次偶尔阅读等比级数的阐发时我有幸发现了天然数的倒数定律,才突然顿悟：那比我下面应用它发现并证了然欧拉常数是两个差别的无理数更有深远的科学意义.
1.欧拉常数r的来源欧拉常数r是客不雅存在的,那是不争的事实.所谓数频-----欧拉常数r就是既充实尊重欧拉的发现,在加上一定的数频前提,那些刚好来自数频科学,因而它是典范数学之级数向数频科学化的一次飞跃,数频定律使我们相信如许的解释是合理的客不雅的.
1734年欧拉Euler操纵牛顿Newton的功效,起首获得了调和级数的有限项乞降的值.
1+1/2+1/3+…+1/n=ln(n+1)+r, 其过程如下:
由ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-x4/4+… , ﹙－1＜x≤1﹚
x=1, ln(1+1)=ln2=1-1/2+1/3-1/4+…;
x=1/2, ln(1+1/2)=ln3/2=1/2-1/2·1/2^2+1/3·1/2^3-1/4·1/2^4+…;
x=1/3, ln(1+1/3)=ln4/3=1/3-1/2·1/3^2+1/3·1/3^3-1/4·1/3^4+…;
… … …
x=1/n, ln(1+1/n)=ln[(n+1)/n]=1/n-1/2·1/n^2+1/3·1/n^3-1/4·1/n^4+…;
将以上各式相加,并整理得:1+1/2+1/3+1/4+…+1/n=ln(1+n)+r ,
r=1/2(1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2)-1/3(1/2^3+1/3^3+1/4^3+…)
+1/4(1/2^4+1/3^4+1/4^4+…)-1/5(1/2^5+1/3^5+1/4^5+…)+…
=1/2∑1/n^2-1/3∑1/n^3+1/4∑1/n^4-1/5∑1/n^5+…+[(-1)^(n-1)]/n∑1/n^n. (n=2,∞) ①式
那就是青年期间的数学家欧拉对调和级数做出的伟大奉献和出色阐发,它是近代现代典范级数理论的不成避开的标尺之一.
2. 天然数的倒数定律 即1/n=1/(1+n)+1/(1+n)^2+1/(1+n)^3+…+1/(1+n)^n-1+1/n·1/(1+n)^n.
n=1, 1=1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^4+…=1/2(1-1/2^n)/(1-1/2)+1·(1/2)^n=1;
n=2, 1/2=1/3+1/3^2+1/3^3+1/3^4+…=1/3(1-1/3^n)/(1-1/3)+1/2·(1/3^n);→
n=3, 1/3=1/4+1/4^2+1/4^3+1/4^4+…=1/4(1-1/4^n)/(1-1/4)+1/3·(1/4^n);
… … … …
那必然律的数频科学意义在于它是恒等式,不是典范数学中的不严密的近似理论,不管n是任何天然数都成立.那必然律是奠基数频科学根底的定律之一,略做简介此处暂不详谈.
将以上各式相加， 右边=1+1/2+1/3+1/4+…+1/n
右边=[1/2+1/3+1/4+…+1/(n+1)]+[1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/(n+1)2]
+[1/2^3+1/3^3+1/4^3+…+1/(n+1)^3]+[1/2^4+1/3^4+1/4^4+…+1/(n+1)^4]+…
∴整理右边=右边,得 1-1/(n+1)=[1/2^2+1/3^2+1/4^2+…]+[1/2^3+1/3^3+1/4^3+…]+… ②式
∴n→∞,有 1=[1/2^2+1/3^2+1/4^2+…]+[1/2^3+1/3^3+1/4^3+…]+[1/2^4+1/3^4+1/4^4…]+… ,
∴1/2=1/2[1/2^2+1/3^2+1/4^2+…]+1/2[1/2^3+1/3^3+1/4^3+…]+1/2[1/2^4+1/3^4+1/4^4+…]+…
＞1/2[1/2^2+1/3^2+1/4^2+…]-1/3[1/2^3+1/3^3+1/4^3+…]+1/4+[1/2^4+1/3^4+1/4^4+…]-…= r＞0 ,
即1/2＞r＞0 .那就是数频----欧拉常数r的初步结论.显然它否认的只是r=0.5772…的结论而不是它的表达式,在那一问题上所有计算成果如在2009年3月13日Alexander .j.Yee和Raymond Chan的计算欧拉常数r前29844489545位等可霎时化为乌有,若是没有科学阐发及时挽救的话.
3.证明 0＜r＜1/3, 可同时证明r为无理数
按照欧拉等人的功效: n→∞,有
ζ2=1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+…=(π^2)/6 ; ζ3=1+1/2^3+1/3^3+1/4^3+…=1.202056903…阿培里常数
ζ4=1+1/2^4+1/3^4+1/4^4+…=(π^4)/90=1.0823…; ζ5=1+1/2^5+1/3^5+1/4^5+…=1.03692775…
ζ6=1+1/2^6+1/3^6+1/4^6+…=(π^6)/945=1.002476…; ……
ζ8=1+1/2^8+1/3^8+1/4^8+…=(π^8)/9450=1.0039827…; ……
显然ζ2＞ζ3＞ζ4＞ζ5＞ζ6＞ζ7＞ζ8＞……
设R=1/2ζ2-1/3ζ3+1/4ζ4-1/5ζ5+…+(-1)n-1(ζn)/n
=1/2(1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+…)-1/3(1+1/2^3+1/3^3+1/4^3+…)+1/4(1/2^4+1/3^4+1/4^4+…)-…
+(-1)n-1(1+1/2^n+1/3^n +1/4^n +…)/n
=(1/2-1/3+1/4-1/5+…)+[1/2∑1/n^2-1/3∑1/n^3+1/4∑1/n^4-1/5∑1/n^5+…], (n=2,∞)
=(1-ln2)+r ③式
因为R是交织级数的变形递加涵数,按照交织级数审敛法,总有
R＜1/2ζ2-1/3ζ3+1/4ζ4-1/5ζ5+1/6ζ-1/7ζ7 +1/8ζ8＜1/2ζ, 此中1/7ζ7用1/8ζ8取代
仍有R＜1/2ζ2-1/3ζ3+1/4ζ4-1/5ζ5+1/6ζ6-1/7ζ8+1/8ζ8=0.628420…
∴R=1-ln2+r＜0.62842…, r＜0.628420…+ln2 -1=0.321520…＜1/3.
注解: ln2=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+…+[(-1)n-1]/n .
欧拉常数r自产生以来,无人证明它能否为有理数,如今来证明数频---欧拉常数r为无理数.在③式 R=1-ln2+r<1/3,不管R是有理数仍是无理数, r都是无理数. 完毕.
4.两个差别的欧拉常数都是无理数
大白了欧拉推导欧拉常数的过程,见①式,就会产生一定的疑问:欧拉近似计算的所谓欧拉常数x=0.57721…到底是什么.事实上欧拉计算的欧拉常数x与他在①式得到的成果不是一回事:欧拉从 1+1/2+1/3+1/4+…+1/n=ln(n+1)+r,
应该得到的是r=1/2∑1/n2-1/3∑1/n3+1/4∑1/n4-1/5∑1/n5+…, ﹙ n=2, ∞﹚
即n不是从1起头而是从2到∞.
但是欧拉计算的欧拉常数x=1/2∑1/n2-1/3∑1/n3+1/4∑1/n4-1/5∑1/n5+…却是﹙n=1,∞﹚,因而得到的成果也就差别.比力①与③式,不难发现欧拉计算的欧拉常数x就是R,通过数频的前提联络在一路,应该是两个差别的欧拉常数,而且都是无理数.
于是我们得到: R=0.57721…=1-ln2+r, 1/4＜r=0.273…＜1/3.
若是其时欧拉比力一下他本身的功效,相信他是不难做到的,以至能获得更大的发现.怀着如许的表情,以此来吊唁和宽慰我们伟大的还未曾远逝的数学巨匠----莱昂哈德.欧拉Euler.
数频科学的曙光起头散去了不断覆盖在典范调和级数上的迷雾, …
参考文献
[1]. 黎曼ζ函数维基百科自在百科全书
[2]. 数学阐发 陈纪修等编 ,--2版--北京 高档教育出书社2004.9 下册p77例子10.2.8
参考材料：
1.
吴合法. 《数频科学》： 吉林大学出书社， 2015.11. 30-33.
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参考材料：
1.
欧拉常数
搜狗百科 [引用日期]
2.
瑞士出名数学家莱昂哈德·欧拉出生
3.
莱昂哈德·欧拉
4.
莱昂哈德·欧拉
5.
数学家欧拉：所有人的教师
6.
数学巨匠欧拉：“他是我们所有！”
7.
Euler Committee of the Swiss Academy of Sciences
8.
纪念数学家欧拉的纸币和邮票
9.
他停行了生命和计算
10.
纪念数学家欧拉的纸币和邮票
11.
数学家欧拉诞辰300周年纪念活动在京举行
12.
谷歌Doodle纪念数学家莱昂哈德·欧拉诞辰
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